1．  绝对值

例1          （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？

解由已知条件可得

T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.

∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.

例2          若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.

证  设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.

∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.

∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.

∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1.

同理可证|a|＞1.

∴a、b都不在-1与1之间.

例3          设a、b是实数，证明

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

证明  当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立.

当|a|-|b|＞0时，由于

（|a|-|b|）²-|a+b|²

=（a²+b²-2|ab|）-（a²+b²+2ab）

=-2（|ab|-ab）≤0，

∴|a|-|b|≤|a+b|.

同理可证|a+b|≤|a|+|b|.

2．  根式

在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：

（1）       配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.

例4         (1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.

解

=4-=2+(2-),

故x=2,y=2-,

∴x+y+

=4-+2+=6.

例5         化简

解  原式=

=|x+3|+|x-1|-|x-2|.

令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：

当x＜-3时

原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4；

当-3≤x＜1时，

原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2；

当1≤x≤2时，

原式=（x+3）+（x-1）+（x-2）=3x；

当x＞2时，

原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4.

说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧.

例6         化简（a＞＞0）.

解

原式=

=

=

∵a＞＞0.   ∴a²＞2b²，

∴原式=

例7         求证：

证明：∵

=

∴原式=4.

(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号

例8         已知求证:

(x+y+z)³=27xyz.

证明:∵

∴

两边立方

x+y+

即

再边再立方得（x+y+z）³=27xyz.

例9         已知

求证 

证明  设则

即 

同理可设则

∴A+B=

=

=

由  A+B=a，

得 

∴

（2）       比较系数法

例10      求满足条件的自然数a、x、y.

解  将等式两边平方得

∵x、y、a都是自然数.

∴只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.

∴x+y=a，xy=6.

由条件可知 x＞y且x、y是自然数.

当x=6时，y=1，得a=7.

当x=3时，y=2，得a=5.

故x=6,y=1,a=7.

或x=3,y=2,a=5.

例11      化简

分析  被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的.

解  设

=,

两边平方得

13+2

=x+y+z+2

比较系数,得

① ② ③ ④

由②有，代入③，得代入④，得y²=5²，∴y=5（x、y、z非负），

∴=1，

∴原式=1+

（4）设参法

例12      （1986年数理化接力赛题）

设（a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n都是正数）.求证:

=

证明  设

且a₁=b₁k,a₂=b₂k,…，a_n=b_nk.

左边=

=

右边=

·

=

∴左边=右边

（5）公式法、代数变换及其他

例13      已知x=求x³+12x的值.

解  由公式（a-b）³=a³-b³-3ab（a-b）可得

·

=8-3

=8-12x.

∴x³+12x=8.

例14      设

求x⁴+y⁴+（x+y）⁴.

解  由条件知

∴x+y=5，xy=1.

∴原式=(x²+y²)²-2x²y²+(x+y)⁴

=[(x+y)²-2xy]²-2x²y²+(x+y)⁴

=(25-2)²-2+5⁴

=1152.

例15      (1978年罗马尼亚竞赛题)对于a∈R，确定的所有可能的值.

解  记y=.   ①

先假定a≥0，这时y≥0，把①两边平方得

②

即   ③

再平方，整理后得

  ④

从而   ≥0.

由②知  y²＜2a²+2-2=2.

再由⑤知 y²≤1，∴0≤y＜1.

反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a，并且这时2a²+2-y²＞0，故可由⑤逆推出②和①，因而在a≥0时，的值域为（0，1）.

同样在a＜0时，的值域为（-1，0），综上的值域是（-1，1）.

练习十七

1．  选择题

（1）若实数x满足方程|1-x|=1+|x|，那么等于（   ）.

（A）x-1（B）1-x（C）±（x-1）（D）1（E）-1

（2）方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为（   ）.

（A）-6  （B）3  （C）-3  （D）6  （E）-18

（3）已知最简根式与是同类根式，则满足条件的a、b的值（   ）.

（A）      不存在 （B）有一组 （C）有二组 （D）多于二组

2．  空题

（1）       已知|x-8y|+（4y-1）²+则x+y+z=_________.

（2）       若a＞b＞c＞0，l₁=乘积中最小的一个是__________.

（3）       已知0＜x＜1，化简

（4）       已知则

（5）（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于__________.

3.化简(a＞0).

4.已知ab＜0，a²+b²=a²b²，化简

5．如果x＞0，y＞0，且试求的值.

6．（第8届美国教学邀请赛试题）

求的值.

7．求适合下列各式的x、y；

（1）若x、y为有理数，且

（2）若x、y为整数，

8．已知求证a²+b²=1.

9．已知A=求证

11＜A³-B³＜12＜A³+B³＜13.

10．（1985年武汉初二数学竞赛题）已知其中a、b都是正数.

（1）       当b取什么样的值时，的值恰好为b？

（2）       当b取什么样的值时，的值恰好为？

练习十七

1.略

2．（1）3   （2）l  （3）2x   （4）a²-2   （5）6.

３．当时，ｙ＝ａ，当ｘ＞２ａ^２时，ｙ＝

４．∵ａｂ＜０，∴｜ａｂ｜＝－ａｂ，若ａ＞０＞ｂ，原式＝－ａｂ；若ａ＜０＜ｂ，原式＝ａｂ．

５．原式＝２．

６．原式＝８２８．

７．（１）

（２）ｘ＝２２，ｙ＝２；ｘ＝－２２，ｙ＝－２．

８．由条件知两边平方后整理得再平方得1-2b²-2a²+b⁴+2a²b²+a⁴=0即1-2(a²+b²)+(a²+b²)²=0,[1-(a²+b²)]²=0,∴a²+b²=1.

9.∵A²+B²=6,AB=2,∴(A+B)²=1,A+B=,A-B=,∴A³-B³=(A-B)+3AB(A-B)=

８．当b≥0时，原式值为b，

当0＜b＜1时，原式值为