命题人　 高金铭

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）　　 圆柱的轴截面周长为6，则该圆柱的体积

（A）　　 最大值为π (B)最小值为π (C) 最大值为 (D) )最小值为

（2）　　 正四棱锥侧棱与底面成45 ^o角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为

　 （A）　　 （B）　　 （C）　 （D）

（3）　　 正三棱柱内有一内切球，半径为R，则这个正三棱柱的体积是

　 （A）　 （B）　 （C） （D）

（4）　　 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，则AD、BC所成的角为

　 （A）30^o 　　　(B)60^o　　　 (C)90^o 　　　(D)120^o

（5）　　 在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，CC₁=2，则直线BC₁与平面DBB₁D₁所成角的正弦值为

　 （A）　 （B）　 （C）　 （D）

（6）　　 下面有四个命题：

①直线a、b为异面直线的充分非必要条件是直线a 、b不相交；②直线 a内一条直线的充分非必要条件是a;③直线a⊥b的充分非必要条件是a垂直于b在平面内的射影；④直线a∥平面β的必要非充分条件是直线a平行于平面β内的一条直线。正确命题的序号是

　 （A）①③　　 （B）②③　　 （C）②④　 （D）②③④

（7）　　 体积为52的圆台的上、下底面面积之比为1：9，那么截得这个圆台的圆锥的体积为

（A）54　　 （B）５４π　　　（Ｃ）５８　　　　（Ｄ）５８π

(8) 圆台的上、下底面面积分别为Ｓ_１、Ｓ_２，母线与底面成θ角，其侧面积为

　（Ａ）　（Ｂ）　　（Ｃ）　（Ｄ）

（９）ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＢＣ、ＣＤ的中点，沿ＡＥ、ＥＦ、ＡＦ折起，使Ｂ、Ｃ、Ｄ重合于Ｐ，则直线ＡＰ与ＥＦ间的距离为

（Ａ）　　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　（Ｄ）

（１０）Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ是空间四边形ＡＢＣＤ四边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、

ＤＡ之中点，已知对角线ＢＤ＝２，ＡＣ＝４，则ＥＧ^２＋ＨＦ^２的值为

　　　（Ａ）１０　　（Ｂ）２０　　　（Ｃ）３０　　（Ｄ）４０

（１１）正四面体Ｓ—ＡＢＣ的表面积为，底面中心为Ｏ，Ｄ为棱AB上任一点，则SD+DO的最小值为

　　 （A）　　 （B） 　　　（C）2　　 （D+1

（12）已知m、n是两条成60⁰的异面直线，过空间某一定点P作直线l，使l与m、n所成的角都是60⁰，则这样的直线l

（A）多于3条　 （B）恰有3条　 （C）恰有2条　（D）只有1条

二、 填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。　

（13）用一个半径是18cm,圆心角为240^o的扇形铁皮做一个无盖的倒圆锥形容器，该容器的容积为 _________.

（14）如图，在四棱锥P—ABCD中，O为AD上的动点，四边形ABCD满足条件_________时，P—BOC的体积为定值。（只写一个你认为正确的条件即可）

（15）正四面体的棱长为a，点P为棱AB上任意一点，点Q为棱CD上任意一点，则PQ长的取值范围为_________.

（16）半径为1的球面上有A、B、C三点，若A与B、A与C之间的球面距离均为，而B与C之间的球面距离为，则球心到截面ABC的距离为_________.

（17）直平行六面体的底面是菱形，两对角面面积分别为S和Q，则其侧面积为 _____：

三．解答题；本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

　 （18）（14分）AB为圆O的直径，圆O在平面α内，SA⊥α，∠ABS=30^o,P在圆周上移动（异于A、B），M、N分别为A在SP、SB上的射影，∠BAP=θ₁.　

(Ⅰ)求证：三棱锥S—ABP的各面均是直角三角形；

（Ⅱ）求证：AM⊥平面SPB；

（Ⅲ）设∠ANM=θ₂，证明：tgθ₁tgθ₂=2.

(19)(14分)在正三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，AA₁=AB=a，D是CC₁的中点，F是A₁B的中点. (Ⅰ)求证：DF‖平面ABC；　　　 　（Ⅱ）求证：AF⊥BD； （Ⅲ）求平面A₁BD与平面ABC所成的锐二面角的大小。

（20）（13分）α-MN-β是大小为θ的二面角，A为α内一点，ΔAMN的面积为S，过A点的直线AB交β于B，使AB⊥MN，且与β成30^o角，求θ变化时，求ΔBMN的面积的最大值.

(21)(13分)已知直角∆ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边AB上一点，现沿CP将直角三角形折成直二面角A-CP—B，当AB=时，求二面角P—AC—B的正切值.

(22)（16分）在如图所示的几何体EF—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=9，

BC=8，EF‖底面ABCD，且EF=3，EA=ED=FB=FC=13，P、M是AB的两个三等分点，Q、N是DC的两个三等分点.

（Ⅰ）求证：平面FMN⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线AE与FC所成角的余弦值；

（Ⅲ）求二面角EF—AB—CD的余弦值；

（Ⅳ）求几何体EF—ABCD的体积.