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从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．
一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：
含绝对值的不等式的性质：
(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；
(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．
由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．
例1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．
分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零
掉绝对值符号再求解．
解(1)当x≥2时，原方程化为
(x-2)+(2x+1)=7，
 
-(x-2)+(2x+1)=7．
应舍去．
-(x-2)-(2x+1)=7．
说明 若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．
例2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．
为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．
｜x-(2x+1)｜=3，
即 ｜1+x｜=3，
所以 x=2或x=-4．
 
｜x+(2x+1)｜=3，
即 ｜3x+1｜=3，
 的个数为2．
例3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？
解 若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知
｜x-2｜-1=±a，
所以 ｜x-2｜=1±a．
(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．
(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得
x=1-a或x=3+a；
由｜x-2｜=1-a，求得
x=1+a或x=3-a．
原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．
综上可知，a=1．
例4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．
解 设x为方程的负根，则-x=ax+1，即
所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．
设方程有正根x，则x=ax＋1，即
所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．
综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．
例5 设
求x+y．
分析 从绝对值的意义知
两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．
解 由题设有
把③代入①得
解之得y=-3，所以x=4．故有
x+y=4-3=1．
例6 解方程组
分析与解 由①得x-y=1或x-y=-1，即
x=y+1或x=y-1．
与②结合有下面两个方程组
解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得
｜y+1｜+2｜y｜=3．
组(Ⅰ)的解为
同理，解(Ⅱ)有
故原方程组的解为
例7 解方程组
解 由①得
x+y=｜x-y｜+2．
因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③
把③代入②有
x+y=x+2，
所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以
x-2=x， ④
或 x-2=-x． ⑤
④无解，所以只有解⑤得x=1．故
为原方程组的解．
说明 本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．
例8 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
＜x≤5，x＞5．
-(x-5)-[-(2x+3)]＜1，
-(x-5)-(2x+3)＜1，
(3)当x＞5时，原不等式化为
x-5-(2x+3)＜1，
解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．
 的解．
例9 解不等式1≤｜3x-5｜≤2．
分析与解 此不等式实际上是
解 对｜3x-5｜≥1：
对｜3x-5｜≤2：
所以①与②的公共解应为
 
例 10 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．
解 从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．
即 x≤-3．
 
即 x＞3．
说明 本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式
分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法．
例11 当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？
解法1 (1)当x≤-2时，
｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．
(2)当-2＜x＜1时，
｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．
(3)当x≥1时，
｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．
所以，只有当a≥3时，原方程有解．
解法2 按照绝对值的性质｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故
｜x+2｜+｜x-1｜≥｜(x+2)-(x-1)｜=3．
其中等号当-2≤x≤1时成立，所以当a≥3时，原方程有解．
练习七
1．解下列方程：
(1)｜x+3｜-｜x-1｜=x+1；
(2)｜｜1+x｜-1｜=3x；
(3)｜3x-2｜-｜x+1｜=x+2；
(4)｜3y-2｜=-｜5x-3｜．
2．解方程组：
3．解下列不等式：
(2)5≤｜5x-3｜≤10；
(3)｜x+1｜+｜4-x｜＜6；
(4)｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1．
4．若a＞0，b＜0，则方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？
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